Lot n° 70

EINSTEIN ALBERT (1879-1955).

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MANUSCRIT autographe, Raum und Gruppe…, [vers 1945] ; 6 pages in-4 ; en allemand.
Important manuscrit scientifique inédit sur la généralisation de la théorie relativiste de la gravitation.
Le manuscrit est à l’encre noire sur 5 feuillets numérotés (1) à (4), le dernier non chiffré, écrits au recto, le feuillet 2 se continuant sur la moitié de la page du verso ; on relève trois lignes de calculs au dos du dernier feuillet.
Il se rattache aux recherches d’Einstein pour son article « Generalization of the Relativistic Theory of Gravitation » publié dans Annals of Mathematics (vol. 46, 1945, pp. 578-84), en collaboration avec son assistant à Princeton Ernst Gabor STRAUS (1922-1983), qui apporta comme mathématicien une aide importante au physicien, Straus formulant un cadre mathématique pour les concepts d’Einstein. C’est pendant leur collaboration que fut conçue une idée nouvelle dans la recherche d’une théorie du champ unifié, qu’ils appelèrent « Théorie complexe ». La Théorie complexe se distinguait d’approches antérieures, par l’utilisation d’un tenseur métrique à valeurs complexes plutôt que le tenseur réel de relativité générale.
Le manuscrit comprend quatre chapitres numérotés.
§1 Raum und Gruppe [Espace et groupe]. « Wir betrachten einen Raum S8 mit 8 komplexen Koordinaten »… [Nous considérons un espace S8 avec 8 coordonnées complexes]…
§2 Vektoren un Tensoren [Vecteurs et tenseurs]. « Genau wie in reellen Räumen können im S8 kontravariante und kovariante Vektoren definiert werden ; diese haben 8 komplexe Komponenten und sind in bekannter Weise durch das Transformationsgesetz definiert. Analog ist es mit der Definition der Tensoren von höheren Range ; sie werden am bequemsten durch Produktbildung aus Vektoren definiert, wodurch ihr Transformationsgesetz festgelegt ist. Addition, Multiplikation, Kontraktion der Tensoren sowie Symmetrie-Eigenschaften bezüglich gleichartiger Indices lassen sich ohne Weiteres aus der Theorie des reellen Raumes auf den komplexen Raum übertragen. Die Beschränkung auf die Gruppe (1) spielt bei all diesen Bildungen keine Rolle; was jedoch für diese Gruppe charakteristisch ist, ist der Begriff des “speziellen” Vektors und Tensors »… [Comme dans les espaces réels, les vecteurs contrevariants et covariants peuvent être définis dans S8 ; ceux-ci ont 8 composants complexes et sont définis de manière connue par la loi de transformation. C›est analogue à la définition des tenseurs d›ordre supérieur ; ils sont définis de manière plus pratique par la formation de produits à partir de vecteurs, ce qui définit leur loi de transformation. L›addition, la multiplication, la contraction des tenseurs et les propriétés de symétrie par rapport à des indices similaires peuvent facilement être transférées de la théorie de l›espace réel à l›espace complexe. La restriction sur le groupe (1) ne joue aucun rôle dans toutes ces formations ; cependant, ce qui caractérise ce groupe est la notion de vecteur et tenseur “spéciaux”…] Etc.
§3 Feldgleichungen [Équations de champ], calculs et développement à partir du « Riemann’sche Krümmungstensor [tenseur de courbe riemannien] »…
§4 Krümmung [Courbe]. « Das eigentliche Problem dieser Arbeit liegt in dem Versuch der Lösung der Frage : Welches sind die natürlichsten Feldgleichungen, welche für einen komplexen metrischen Raum aufgestellt werden können. Bei der Theorie reeller metrischer Räume ist die (zu der Theorie des reinen Gravitationsfeldes führende) Lösung dieses Problems einfach. Denn es gibt nur einen Differentialtensor zweiter Differentialactions-Stufe, die Riemann’sche Krümmung sowie jene Bildungen, welche aus ihr auf algebraischen Wege gewonnen werden können »… [Le vrai problème de ce travail réside dans la tentative de résoudre la question : quelles sont les équations de champ les plus naturelles qui puissent être configurées pour un espace métrique complexe. Dans la théorie des espaces métriques réels, la solution à ce problème (conduisant à la théorie du champ gravitationnel pur) est simple. Dans la théorie des espaces métriques réels, la solution à ce problème (conduisant à la théorie du champ gravitationnel pur) est simple. Car il n’y a qu’un seul tenseur différentiel du deuxième degré à action différentielle, la courbe de Riemann, ainsi que les formations qui peuvent en être obtenues de manière algébrique…] Etc.
Et il termine : « Führt man die dieser entsprechende Operation in einem metrischen reellen Raum an einem Skalar aus, so erhält man identisch O. An einem Vektor ausgeführt, führt sie zur Riemann’-Krümmung. Wir erwähnen dies nur, um später die Beziehung zwischen beiden Theorien klar hervortreten zu lassen. » [Si on effectue l’opération correspondante dans un espace réel métrique sur une échelle, on obtient à l’identique O. Exporté sur un vecteur, il conduit à la courbe de Riemann. Nous n’en parlons que pour clarifier plus tard la relation entre les deux théories.]
 
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